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                                                       Dijkstra算法（单源最短路径）
      单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。
一.最短路径的最优子结构性质
   该性质描述为：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。
   假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P"(k,s)，那么P"(i,j)=P(i,k)+P"(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。
二.Dijkstra算法
   由上述性质可知，如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径，Dijkstra就提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0，首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi，那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist+matrix[j]}。根据这种思路，
假设存在G=<V,E>，源顶点为V0，U={V0},dist记录V0到i的最短距离，path记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。
1.从V-U中选择使dist值最小的顶点i，将i加入到U中；
2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist+matrix[j]})
3.知道U=V，停止。
代码实现:

1. /*Dijkstra求单源最短路径 2010.8.26*/
3. #include <iostream>
4. #include<stack>
5. #define M 100
6. #define N 100
7. using namespace std;
9. typedef struct node
10. {
11.     int matrix[N][M];      //邻接矩阵
12.     int n;                 //顶点数
13.     int e;                 //边数
14. }MGraph;
16. void DijkstraPath(MGraph g,int *dist,int *path,int v0)   //v0表示源顶点
17. {
18.     int i,j,k;
19.     bool *visited=(bool *)malloc(sizeof(bool)*g.n);
20.     for(i=0;i<g.n;i++)     //初始化
21.     {
22.         if(g.matrix[v0][i]>0&&i!=v0)
23.         {
24.             dist[i]=g.matrix[v0][i];
25.             path[i]=v0;     //path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点
26.         }
27.         else
28.         {
29.             dist[i]=INT_MAX;    //若i不与v0直接相邻，则权值置为无穷大
30.             path[i]=-1;
31.         }
32.         visited[i]=false;
33.         path[v0]=v0;
34.         dist[v0]=0;
35.     }
36.     visited[v0]=true;
37.     for(i=1;i<g.n;i++)     //循环扩展n-1次
38.     {
39.         int min=INT_MAX;
40.         int u;
41.         for(j=0;j<g.n;j++)    //寻找未被扩展的权值最小的顶点
42.         {
43.             if(visited[j]==false&&dist[j]<min)
44.             {
45.                 min=dist[j];
46.                 u=j;        
47.             }
48.         }
49.         visited[u]=true;
50.         for(k=0;k<g.n;k++)   //更新dist数组的值和路径的值
51.         {
52.             if(visited[k]==false&&g.matrix[u][k]>0&&min+g.matrix[u][k]<dist[k])
53.             {
54.                 dist[k]=min+g.matrix[u][k];
55.                 path[k]=u;
56.             }
57.         }        
58.     }   
59. }
61. void showPath(int *path,int v,int v0)   //打印最短路径上的各个顶点
62. {
63.     stack<int> s;
64.     int u=v;
65.     while(v!=v0)
66.     {
67.         s.push(v);
68.         v=path[v];
69.     }
70.     s.push(v);
71.     while(!s.empty())
72.     {
73.         cout<<s.top()<<" ";
74.         s.pop();
75.     }
76. }
78. int main(int argc, char *argv[])
79. {
80.     int n,e;     //表示输入的顶点数和边数
81.     while(cin>>n>>e&&e!=0)
82.     {
83.         int i,j;
84.         int s,t,w;      //表示存在一条边s->t,权值为w
85.         MGraph g;
86.         int v0;
87.         int *dist=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
88.         int *path=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
89.         for(i=0;i<N;i++)
90.             for(j=0;j<M;j++)
91.                 g.matrix[i][j]=0;
92.         g.n=n;
93.         g.e=e;
94.         for(i=0;i<e;i++)
95.         {
96.             cin>>s>>t>>w;
97.             g.matrix[s][t]=w;
98.         }
99.         cin>>v0;        //输入源顶点
100.         DijkstraPath(g,dist,path,v0);
101.         for(i=0;i<n;i++)
102.         {
103.             if(i!=v0)
104.             {
105.                 showPath(path,i,v0);
106.                 cout<<dist[i]<<endl;
107.             }
108.         }
109.     }
110.     return 0;
111. }

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