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单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。  一.最短路径的最优子结构性质      该性质描述为：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。   假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P"(k,s)，那么P"(i,j)=P(i,k)+P"(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。   
  
   
   

     
   

     
   
  
二.Dijkstra算法       Dijkstra提出按各顶点与源点v间的路径长度的递增次序，生成到各顶点的最短路径的算法。既先求出长度最短的一条最短路径，再参照它求出长度次短的一条最短路径，依次类推，直到从源点v 到其它各顶点的最短路径全部求出为止。

1. public class Dijkstra {
   
2.     static int M=10000;
   
3.     public static void main(String[] args) {
   
4.         // TODO Auto-generated method stub
   
5.         int[][] weight1 = {
   
6.                 {0,3,2000,7,M},
   
7.                 {3,0,4,2,M},
   
8.                 {M,4,0,5,4},
   
9.                 {7,2,5,0,6},   
   
10.                 {M,M,4,6,0}
    
11.         };
    
12.         int[][] weight2 = {
    
13.                 {0,10,M,30,100},
    
14.                 {M,0,50,M,M},
    
15.                 {M,M,0,M,10},
    
16.                 {M,M,20,0,60},
    
17.                 {M,M,M,M,0}
    
18.         };
    
19.         int start=0;
    
20.         int[] shortPath = Dijsktra(weight2,start);
    
21.         
    
22.         for(int i = 0;i < shortPath.length;i++)
    
23.              System.out.println("从"+start+"出   发到"+i+"的最短距离为："+shortPath[i]);  
    
24.          
    
25.     }
    
26.    
    
27.     public static int[] Dijsktra(int[][] weight,int start){
    
28.         //接受一个有向图的权重矩阵，和一个起点编号start（从0编号，顶点存在数组中）
    
29.         //返回一个int[] 数组，表示从start到它的最短路径长度
    
30.         int n = weight.length;        //顶点个数
    
31.         int[] shortPath = new int[n];    //存放从start到其他各点的最短路径
    
32.         String[] path=new String[n]; //存放从start到其他各点的最短路径的字符串表示
    
33.          for(int i=0;i< n;i++)
    
34.              path[i]=new String(start+"-->"+i);
    
35.         int[] visited = new int[n];        //标记当前该顶点的最短路径是否已经求出,1表示已求出
    
36.         
    
37.         //初始化，第一个顶点求出
    
38.         shortPath[start] = 0;
    
39.         visited[start] = 1;
    
40.         for(int count = 1;count <= n - 1;count++)        //要加入n-1个顶点
    
41.         {
    
42. 
    
43.             int k = -1;    //选出一个距离初始顶点start最近的未标记顶点
    
44.             int dmin = Integer.MAX_VALUE;
    
45.             for(int i = 0;i < n;i++)
    
46.             {
    
47.                 if(visited[i] == 0 && weight[start][i] < dmin)
    
48.                 {
    
49.                     dmin = weight[start][i];
    
50.                   
    
51.                     k = i;
    
52.                 }  
    
53.                     
    
54.             }
    
55.            // System.out.println("k="+k);
    
56.             
    
57.             //将新选出的顶点标记为已求出最短路径，且到start的最短路径就是dmin
    
58.             shortPath[k] = dmin;
    
59.             visited[k] = 1;
    
60.   
    
61.             //以k为中间点，修正从start到未访问各点的距离
    
62.             for(int i = 0;i < n;i++)
    
63.             {                 
    
64.                 if(visited[i] == 0 && weight[start][k] + weight[k][i] < weight[start][i]){
    
65.                      weight[start][i] = weight[start][k] + weight[k][i];
    
66.                   
    
67.                      path[i]=path[k]+"-->"+i;
    
68.                  
    
69.                 }
    
70.                
    
71.             }  
    
72.      
    
73.         }
    
74.          for(int i=0;i< n;i++)
    
75.            System.out.println("从"+start+"出发到"+i+"的最短路径为："+path[i]);  
    
76.          System.out.println("=====================================");
    
77.       
    
78.         return shortPath;
    
79.     }
    
80. }
    

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运行结果：
从0出发到0的最短路径为：0-->0
从0出发到1的最短路径为：0-->1
从0出发到2的最短路径为：0-->3-->2
从0出发到3的最短路径为：0-->3
从0出发到4的最短路径为：0-->3-->2-->4
=====================================
从0出发到0的最短距离为：0
从0出 发到1的最短距离为：10
从0出 发到2的最短距离为：50
从0出 发到3的最短距离为：30
从0出 发到4的最短距离为：60





  
  
   
   

     
   

     
   
  

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