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  基本思想
  堆排序是一种树形选择排序，是对直接选择排序的改进。
   
  首先，我们来看看什么是堆（heap）：
  （1）堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
  （2）堆总是一棵完全二叉树（Complete Binary Tree）。
   完全二叉树是由满二叉树（Full Binary Tree）而引出来的。除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点的二叉树称为满二叉树。
  如果除最后一层外，每一层上的节点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点，这样的二叉树被称为完全二叉树。
  

  
  一棵完全二叉树，如果某个节点的值总是不小于其父节点的值，则根节点的关键字是所有节点关键字中最小的，称为小根堆（小顶堆）；如果某个节点的值总是不大于其父节点的值，则根节点的关键字是所有节点关键字中最大的，称为大根堆（大顶堆）。
  从根节点开始，按照每层从左到右的顺序对堆的节点进行编号：
  

  
  可以发现，如果某个节点的编号为i，则它的子节点的编号分别为：2i、2i+1。据此，推出堆的数学定义：
  具有n个元素的序列（k[sub]1[/sub],k[sub]2[/sub],...,k[sub]n[/sub])，当且仅当满足
  

  时称之为堆。
  需要注意的是，堆只对父子节点做了约束，并没有对兄弟节点做任何约束，左子节点与右子节点没有必然的大小关系。
   
  如果用数组存储堆中的数据，逻辑结构与存储结构如下：
  
   
  初始时把要排序的n个数看作是一棵顺序存储的完全二叉树，调整它们的存储顺序，使之成为一个堆，将堆顶元素输出，得到n 个元素中最小（最大）的元素，这时堆的根节点的数最小（或者最大）。然后对前面(n-1)个元素重新调整使之成为堆，输出堆顶元素，得到n 个元素中次小(或次大)的元素。依次类推，直到只有两个节点的堆，并对它们作交换，最后得到有n个节点的有序序列。这个过程就称为堆排序。
   
  写代码之前，我们要解决一个问题：如何将一个不是堆的完全二叉树调整为堆。
  例如我们要将这样一个无序序列：
  49，38，65，97，76，13，27，49
  建成堆，将它直接映射成二叉树，结果如下图的(a)：
  

  
  (a)是一个完全二叉树，但不是堆。我们将它调整为小顶堆。
  堆有一个性质是：堆的每个子树也是堆。
  调整的核心思想就是让树的每棵子树都成为堆，以某节点与它的左子节点、右子节点为操作单位，将三者中最小的元素置于子树的根上。
  (a)中最后一个元素是49，在树中的序号为8，对应的数组下标则为7，它的父节点对应的数组下标为3（如果一个元素对应的存储数组的下标为i，则它的父节点对应的存储数组的下标为(i-1)/2），49小于97，所以两者交换位置。
  此时，以第三层元素为根节点的所有子树都已是堆了，下一步继续调整以第二层元素为根节点的子树。
  先调整以65为根的子树，再调整以38为根的子树（满足堆的要求，实际上不用调整）。
  然后调整以第一层元素为根的子树，即以49为根，以38为左子节点，以13为右子节点的子树，交换13与49的位置。
  一旦交换位置，就有可能影响本来已经是堆的子树。13与49交换位置之后，破坏了右子树，将焦点转移到49上面来，继续调整以它为根节点的子树。如果此次调整又影响了下一层的子树，继续调整，直至叶子节点。
  以上就是由数组建堆的过程。
   
  堆建好之后开始排序，堆顶就是最小值，取出放入数组中的最后一个位置，将堆底（数组中的最后一个元素）放入堆顶。这一操作会破坏堆，需要将前n-1个元素调整成堆。
  然后再取出堆顶，放入数组的倒数第二个位置，堆底（数组中的倒数第二个元素）放入堆顶，再将前n-2个元素调整成堆。
  按照上面的思路循环操作，最终就会将数组中的元素按降序的顺序排列完毕。
   
  如果想要升序排列，利用大顶堆进行类似的操作即可。下面的java实现就是使用大顶堆完成的。
  

  java实现
  

1. //堆排序      public void heapSort(){
2.             
3.              buildHeap();
4.              System.out.println("建堆：");
5.              printTree(array.length);
6.             
7.              int lastIndex = array.length-1;
8.              while(lastIndex>0){
9.                     swap(0,lastIndex);  //取出堆顶元素，将堆底放入堆顶。其实就是交换下标为0与lastIndex的数据
10.                     if(--lastIndex == 0) break;  //只有一个元素时就不用调整堆了，排序结束
11.                     adjustHeap(0,lastIndex);  //调整堆
12.                   
13.                     System.out.println("调整堆：");
14.                     printTree(lastIndex+1);
15.              }
16.             
17.       }
18.      
19.       /**
20.        * 用数组中的元素建堆
21.        */
22.       private void buildHeap(){
23.              int lastIndex = array.length-1;
24.              for(inti= (lastIndex-1)/2;i>=0;i--){ //(lastIndex-1)/2就是最后一个元素的根节点的下标，依次调整每棵子树
25.                     adjustHeap(i,lastIndex);  //调整以下标i的元素为根的子树                  
26.              }
27.       }
28.      
29.       /**
30.        * 调整以下标是rootIndex的元素为根的子树
31.        *@param rootIndex 根的下标
32.        *@param lastIndex 堆中最后一个元素的下标
33.        */
34.       private void adjustHeap(int rootIndex,intlastIndex){
35.             
36.              int biggerIndex = rootIndex;
37.              int leftChildIndex = 2*rootIndex+1;
38.              int rightChildIndex = 2*rootIndex+2;
39.             
40.              if(rightChildIndex<=lastIndex){  //存在右子节点，则必存在左子节点
41.                   
42.                     if(array[rootIndex]<array[leftChildIndex] || array[rootIndex]<array[rightChildIndex]){ //子节点中存在比根更大的元素
43.                      biggerIndex = array[leftChildIndex]<array[rightChildIndex] ? rightChildIndex :leftChildIndex;
44.                     }
45.                   
46.              }else if(leftChildIndex<=lastIndex){  //只存在左子节点
47.                   
48.                     if(array[leftChildIndex]>array[rootIndex]){  //左子节点更大
49.                            biggerIndex = leftChildIndex;
50.                     }
51.              }
52.             
53.              if(biggerIndex != rootIndex){  //找到了比根更大的子节点
54.                   
55.                     swap(rootIndex,biggerIndex);
56.                   
57.                     //交换位置后可能会破坏子树，将焦点转向交换了位置的子节点，调整以它为根的子树
58.                     adjustHeap(biggerIndex,lastIndex);
59.              }
60.       }
61.      
62.       /**
63.        * 将数组按照完全二叉树的形式打印出来
64.        */
65.       private void printTree(int len){
67.              int layers = (int)Math.floor(Math.log((double)len)/Math.log((double)2))+1;  //树的层数
68.              int maxWidth = (int)Math.pow(2,layers)-1;  //树的最大宽度
69.              int endSpacing = maxWidth;
70.              int spacing;
71.              int numberOfThisLayer;
72.              for(int i=1;i<=layers;i++){  //从第一层开始，逐层打印
73.                     endSpacing = endSpacing/2;  //每层打印之前需要打印的空格数
74.                     spacing = 2*endSpacing+1;  //元素之间应该打印的空格数
75.                     numberOfThisLayer = (int)Math.pow(2, i-1);  //该层要打印的元素总数
76.                   
77.                     int j;
78.                     for(j=0;j<endSpacing;j++){
79.                            System.out.print("  ");
80.                     }
81.                   
82.                     int beginIndex = (int)Math.pow(2,i-1)-1;  //该层第一个元素对应的数组下标
83.                     for(j=1;j<=numberOfThisLayer;j++){
84.                            System.out.print(array[beginIndex++]+"");
85.                            for(intk=0;k<spacing;k++){  //打印元素之间的空格
86.                                   System.out.print("  ");
87.                            }
88.                            if(beginIndex == len){  //已打印到最后一个元素
89.                                   break;
90.                            }
91.                     }
92.                   
93.                     System.out.println();
94.              }
95.              System.out.println();
96.       }

复制代码

  
  用以下代码测试：
  

1.              int [] a = {7,1,9,2,5,10,6,4,3,8};             Sort sort = new Sort(a);                         System.out.println("未排序时：");             sort.display();             System.out.println();                         sort.heapSort();             System.out.println("排序完成：");             sort.display();

复制代码

  
  打印结果如下：
  

  

  

  
  算法分析
  
  它的运行时间主要是消耗在初始构建堆和在重建堆时的反复筛选上。
  在构建堆的过程中，因为我们是完全二叉树从最下层最右边的非终端结点开始构建，将它与其孩子进行比较和若有必要的互换，对于每个非终端结点来说，其实最多进行两次比较和互换操作，因此整个构建堆的时间复杂度为O(n)。
  在正式排序时，第i次取堆顶记录重建堆需要用O(logi)的时间（完全二叉树的某个结点到根结点的距离为log[sub]2[/sub]i＋1），并且需要取n-1次堆顶记录，因此，重建堆的时间复杂度为O(nlogn)。
  所以总体来说，堆排序的时间复杂度为O(nlogn)。由于堆排序对原始记录的排序状态并不敏感，因此它无论是最好、最坏和平均时间复杂度均为O(nlogn)。这在性能上显然要远远好过于冒泡、简单选择、直接插入的O(n[sup]2[/sup])的时间复杂度了。
   
  空间复杂度上，它只有一个用来交换的暂存单元，也非常的不错。不过由于记录的比较与交换是跳跃式进行，因此堆排序是一种不稳定的排序方法。